以下是中学数学（初中+高中）核心公式的分类整理，涵盖代数、几何、三角函数、数列、解析几何等模块，注重实用性和系统性，方便查阅和记忆：
一、代数基础公式
1. 整式运算公式
- 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
- 完全平方公式：
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
- 立方和/差公式：
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
- 完全立方公式：
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
- 多项式乘法公式：
(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab
2. 一元二次方程
- 求根公式：若ax^2 + bx + c = 0（a≠0），则
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
- 判别式：\Delta = b^2 - 4ac
- \Delta > 0：两不等实根；\Delta = 0：两相等实根；\Delta < 0：无实根
- 韦达定理：根为x_1, x_2时，
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}，x_1x_2 = \frac{c}{a}
3. 不等式公式
- 均值不等式（a, b > 0）：
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}（当且仅当a = b时取等）
- 扩展（a, b, c > 0）：
\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}（当且仅当a = b = c时取等）
- 绝对值不等式：
|a| - |b| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|
二、函数与指数对数公式
1. 一次函数与二次函数
- 一次函数：y = kx + b（k为斜率，b为截距）
- 二次函数顶点式：y = a(x - h)^2 + k，顶点坐标(h, k)
- 二次函数一般式：y = ax^2 + bx + c，顶点坐标\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)
2. 指数与对数运算
- 指数公式：
a^m \cdot a^n = a^{m+n}；\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}；(a^m)^n = a^{mn}；
(ab)^n = a^n b^n；a^{-n} = \frac{1}{a^n}；a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}
- 对数公式（a > 0且a≠1，M, N > 0）：
- 基本关系：\log_a a = 1，\log_a 1 = 0，a^{\log_a N} = N
- 运算性质：
\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N
\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N
\log_a M^n = n \log_a M
- 换底公式：\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}（常用以10为底：\log_a b = \frac{\lg b}{\lg a}，或以e为底：\frac{\ln b}{\ln a}）
三、三角函数公式
1. 基本定义与关系
- 直角三角形定义（\angle\alpha对边a，邻边b，斜边c）：
\sin\alpha = \frac{a}{c}，\cos\alpha = \frac{b}{c}，\tan\alpha = \frac{a}{b}
- 同角三角函数关系：
- 平方关系：\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
- 商数关系：\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
- 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）：
例：\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha，\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha
2. 和差角与二倍角公式
- 和差角公式：
\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta
\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}
- 二倍角公式：
\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha
\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha
\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}
3. 解三角形公式
- 正弦定理：\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R（R为外接圆半径）
- 余弦定理：
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
- 面积公式：
S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B
四、数列与排列组合公式
1. 等差数列
- 通项公式：a_n = a_1 + (n - 1)d（a_1为首项，d为公差）
- 前n项和：S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d
2. 等比数列
- 通项公式：a_n = a_1 q^{n-1}（a_1为首项，q为公比，q≠0）
- 前n项和：
S_n = \begin{cases}
na_1 & (q = 1) \\
\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q} & (q ≠ 1)
\end{cases}
3. 排列组合
- 排列数：A_n^m = n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - m + 1) = \frac{n!}{(n - m)!}
- 组合数：C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n - m)!}
- 组合数性质：
C_n^m = C_n^{n - m}，C_n^m + C_n^{m - 1} = C_{n + 1}^m
- 二项式定理：
(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n - k} b^k，通项T_{k+1} = C_n^k a^{n - k} b^k
五、平面解析几何公式
1. 直线方程
- 点斜式：y - y_0 = k(x - x_0)（过点(x_0, y_0)，斜率k）
- 斜截式：y = kx + b（斜率k，截距b）
- 一般式：Ax + By + C = 0（A, B不同时为0）
- 两直线位置关系：
- 平行：k_1 = k_2且截距不等（或\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} ≠ \frac{C_1}{C_2}）
- 垂直：k_1 k_2 = -1（或A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0）
- 点到直线距离：点(x_0, y_0)到直线Ax + By + C = 0的距离
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
2. 圆的方程
- 标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2（圆心(a, b)，半径r）
- 一般方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0（条件：D^2 + E^2 - 4F > 0），圆心\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)，半径r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}
3. 圆锥曲线（高中）
- 椭圆（焦点在x轴）：
标准方程：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a > b > 0），焦距2c，c^2 = a^2 - b^2
- 双曲线（焦点在x轴）：
标准方程：\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1，焦距2c，c^2 = a^2 + b^2，渐近线y = \pm \frac{b}{a}x
- 抛物线（开口向右）：
标准方程：y^2 = 2px（p > 0），焦点\left(\frac{p}{2}, 0\right)，准线x = -\frac{p}{2}
六、立体几何公式
1. 空间几何体体积与表面积
- 柱体：体积V = Sh（S为底面积，h为高），表面积S = 侧面积 + 2底面积
- 锥体：体积V = \frac{1}{3}Sh
- 球体：体积V = \frac{4}{3}\pi r^3，表面积S = 4\pi r^2
- 长方体：体对角线l = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}（a, b, c为长宽高）
2. 空间向量（高中）
- 设向量\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)，\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)：
- 模长：|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}
- 点积：\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta（\theta为夹角）
- 夹角公式：\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
- 线线垂直：\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0
七、概率与统计公式
1. 概率基础
- 古典概型：P(A) = \frac{m}{n}（m为事件A包含的基本事件数，n为总事件数）
- 独立事件概率：P(AB) = P(A)P(B)
- 互斥事件概率：P(A \cup B) = P(A) + P(B)
2. 统计量
- 平均数：\overline{x} = \frac{1}{n}(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)
- 方差：s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2
- 标准差：s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}
八、微积分初步（高中选修）
1. 导数公式
- 常函数：(C)' = 0
- 幂函数：(x^n)' = nx^{n-1}
- 指数函数：(e^x)' = e^x，(a^x)' = a^x \ln a
- 对数函数：(\ln x)' = \frac{1}{x}，(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}
- 三角函数：(\sin x)' = \cos x，(\cos x)' = -\s